数学建模算法：层次分析法

模型定位

层次分析法「The analytic hierarchy process」是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

模型共分为三个层级：

• 目标层：结果输出层，确定目标是什么？
• 准则层：影响因素集，决定这一结果的因素有什么？
• 方案层：备选集，从哪些样本中选择？

模型适用于评价类、排名类、决策类问题

模型流程

数据预处理

在计算中，需要将不同准则的数量级统一，这个过程称为归一化，将一组统一标准的数据视为列向量，把数据化为在总数中的占比即可，范围为(0,1)： $$ x_i = \frac{x_i}{\sum_{k=1}^nx_k}\ ,\ i\in{1,2,\dots,n} $$

生成判断矩阵

两两比较每个准则(指标)的重要性，记为$a_{ij}$, 来表示相对于指标j，指标i的重要性，且满足： $$ a_{ij} = \frac{1}{a_{ji}} $$

$a_{ij}$	含义
1	指标$i$与指标$j$相同重要
3	指标$i$比指标$j$稍微重要
5	指标$i$比指标$j$明显重要
7	指标$i$比指标$j$强烈重要
9	指标$i$比指标$j$极端重要

注：2，4，6，8表示在两者之间

一致性检验

由于重要性的比较是单看两者的主观评价，结果不可避免会产生矛盾，我们虽然不能追求完美一致，但是这一判断矩阵必须通过一致性检验，确保重要性差异较为一致： $$ CR = \frac{CI}{RI} ， CI = \frac{\lambda_{max}-n}{n-1} $$ 其中$\lambda_{max}$为判断矩阵的最大特征值，$RI$为常数，在不同因素数下有不同取值：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49

• 若$CR \leq 0.1 $ : 通过一致性检验
• 若$CR > 0.1 $ : 重新生成判断矩阵

权重矩阵

1. 矩阵按列归一化：即每个数值除以所在列的和
2. 每行求平均降维即可

代码实现

Python Version

import numpy as np

# 准则重要性矩阵
A = np.array([[1, 2, 3, 5],
             [1 / 2, 1, 1 / 2, 2],
             [1 / 3, 2, 1, 2],
             [1 / 5, 1 / 2, 1 / 2, 1]])
[n, m] = A.shape

# 一致性检验
V, D = np.linalg.eig(A)

maxlam = np.max(V)
CI = (maxlam - n) / (n - 1)
RI = [0, 0, 0.58, 0.9, 1.12, 1.24, 1.32, 1.41, 1.45, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58, 1.59]
# 判断是否通过一致性检验
CR = CI / RI[n - 1]
if CR >= 0.1:
    print('没有通过一致性检验\n')
else:
    print('通过一致性检验\n')

# 计算权重
Asum = np.sum(A, axis=0)
Aprogress = A/(np.ones((n, 1), dtype=np.int64) * Asum)

W = np.average(Aprogress, axis=1)

Matlab Version

%输入判断矩阵
A = [1 2 3 5
    1/2 1 1/2 2
    1/3 2 1 2
    1/5 1/2 1/2 1];

%一致性检验
maxlam = max(eig(A));
[~, n] = size(A);
RI = [0,0,0.58,0.9,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58, 1.59];
CI = (maxlam - n) / (n-1);
CR = CI / RI(n);
if CR < 0.10
    disp('通过一致性检验')
else
    disp('不通过一致性检验')
    return  % 终止运行 
end


%计算权重向量
[n,~] = size(A);
Asum = sum(A,1);    % 按列求和
Aprogress = A./(ones(n,1)*Asum);

W = sum(Aprogress, 2)./n;